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2025 年考研数学（三）第 22 题

解答题 · 12 分

投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额

Y

与投保人的损失额

X

的关系为

Y = {0, X - 100, X \leq 100 X > 100

，设损失事件发生时，投保人的损失额

X

的概率密度为

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 \times 10 0 ^{2}}{( 100 + x ) ^{3}}, 0, x > 0 x \leq 0

。

（Ⅰ）求

P {Y > 0}

及

E (Y)

；

（Ⅱ）这种损失事件在一年内发生的次数记为

N

，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为

M

。假设

N

服从参数为

8

的泊松分布，在

N = n (n \geq 1)

的条件下，

M

服从二项分布

B (n, p)

，其中

p = P {Y > 0}

，求

M

的概率分布。

提示 1

（Ⅰ）

P {Y > 0} = P {X > 100}

直接对密度在

(100, + \infty)

积分；

E (Y) = \int_{100}^{+ \infty} (x - 100) f (x) d x

用分部积分。

提示 2

（Ⅱ）写出联合概率

P {M = k, N = n} = P {M = k ∣ N = n} P {N = n}

，其中条件为二项、

N

为泊松。

提示 3

对

n

从

k

到

\infty

求和得边缘分布，利用

\sum_{m \geq 0} \frac{6 ^{m} e ^{- 6}}{m !} = 1

（泊松分布归一）。

答案与详解

答案（Ⅰ） $P {Y > 0} = \frac{1}{4}$ ， $E (Y) = 50$ ；（Ⅱ） $M$ 服从参数为 $2$ 的泊松分布， $P {M = k} = \frac{2 ^{k}}{k !} e^{- 2} (k = 0, 1, 2, \dots)$

思路（为什么这么做）

“

N

泊松、

M ∣ N

二项，求

M

分布” → 联合概率求和后必得泊松分布，参数为

λ p

（本题

8 \times \frac{1}{4} = 2

）。坑：

E (Y)

只对

X > 100

段积分（

Y = 0

段贡献

0

）；求和时凑出另一泊松分布的归一化和

= 1

。

解答

本题综合考查随机变量函数的分布、数学期望、条件分布与边缘分布。

（Ⅰ）

P {Y > 0} = P {X > 100} = \int_{100}^{+ \infty} \frac{2 \times 10 0 ^{2}}{( 100 + x ) ^{3}} d x = - \frac{10 0 ^{2}}{( 100 + x ) ^{2}}_{100}^{+ \infty} = \frac{10 0 ^{2}}{20 0 ^{2}} = \frac{1}{4}

。

E (Y) = 0 \cdot P {Y = 0} + \int_{100}^{+ \infty} (x - 100) \frac{2 \times 10 0 ^{2}}{( 100 + x ) ^{3}} d x

。分部积分（凑

d [(100 + x)^{- 2}]

）得

E (Y) = \frac{10 0 ^{2}}{200} = 50

。

（Ⅱ）

N \sim P (8)

：

P {N = n} = \frac{8 ^{n} e ^{- 8}}{n !}

，

p = \frac{1}{4}

。当

N = 0

时

M = 0

。对

k \geq 0

，由

M = k

需

N = n \geq k

，

P {M = k, N = n} = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k} \frac{8 ^{n} e ^{- 8}}{n !} = \frac{6 ^{n - k} 2 ^{k} e ^{- 8}}{k ! ( n - k )!}

。

求边缘分布：

P {M = k} = n = k \sum \infty \frac{6 ^{n - k} 2 ^{k} e ^{- 8}}{k ! ( n - k )!} = \frac{2 ^{k} e ^{- 2}}{k !} m = 0 \sum \infty \frac{6 ^{m} e ^{- 6}}{m !} = \frac{2 ^{k} e ^{- 2}}{k !}

。即

M

服从参数为

λ p = 8 \times \frac{1}{4} = 2

的泊松分布，

P {M = k} = \frac{2 ^{k}}{k !} e^{- 2} (k = 0, 1, 2, \dots)

。

考点：随机变量函数的分布、数学期望、边缘分布与条件分布

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