2024 年考研数学（三） 第 15 题

由 $r({\lambda }_{0}E-A)$ 反推特征值的几何重数（$=n-r$），凑齐 $n$ 个特征向量定出全部特征值 → $|A|=\prod {\lambda }_i$，$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$。坑：$r(E+A)=r(-E-A)$ 对应特征值 $-1$。

本题考查由秩确定特征值及伴随矩阵行列式。 $r(2\mathbf{E}-\mathbf{A})=1$ 说明 $(2\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=0$ 有 $3-1=2$ 个线性无关解，即特征值 $2$ 有 2 个线性无关特征向量。

$r(\mathbf{E}+\mathbf{A})=2$ 即 $r(-\mathbf{E}-\mathbf{A})=2$，说明特征值 $-1$ 有 $3-2=1$ 个无关特征向量。合计 3 个无关特征向量，故 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $2,2,-1$，$|\mathbf{A}|=2\cdot 2\cdot (-1)=-4$。

由 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }=|\mathbf{A}|\mathbf{E}$ 得 $|\mathbf{A}||{\mathbf{A}}^{\ast }|=|\mathbf{A}{|}^3$，故 $|{\mathbf{A}}^{\ast }|=|\mathbf{A}{|}^{n-1}=|\mathbf{A}{|}^2=16$。