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2024 年考研数学（三）第 16 题

填空题 · 5 分

设随机试验每次成功的概率为

p

，现进行 3 次独立重复试验，在至少成功 1 次的条件下，3 次试验全部成功的概率为

\frac{4}{13}

，则

p =

______。

提示 1

设成功次数

X \sim B (3, p)

，写出条件概率

P {X = 3 ∣ X \geq 1}

。

提示 2

分子

P {X = 3} = p^{3}

，分母

P {X \geq 1} = 1 - (1 - p)^{3}

。

提示 3

令其

= 4/13

，解关于

p

的方程，取正根。

答案与详解

答案 $\frac{2}{3}$

思路（为什么这么做）

「至少成功 1 次的条件下……」→ 条件概率

= \frac{P ( 全成功 )}{1 - P ( 全失败 )}

。坑：分母是

1 - (1 - p)^{3}

而不是

1 - p^{3}

。

解答

本题考查条件概率与二项分布。 设

X

为 3 次试验中成功的次数，则

X \sim B (3, p)

。

所求

P {X = 3 ∣ X \geq 1} = \frac{P { X = 3 }}{P { X \geq 1 }} = \frac{p ^{3}}{1 - ( 1 - p ) ^{3}} = \frac{4}{13}

。

整理

13 p^{3} = 4 [1 - (1 - p)^{3}]

，化简得

3 p^{2} + 4 p - 4 = 0

（约去

p

），即

(3 p - 2) (p + 2) = 0

，由

p > 0

得

p = \frac{2}{3}

。

考点：条件概率与乘法公式、常见离散分布（二项、泊松、几何等）

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