2024 年考研数学（三） 第 17 题

被积含 $x-y$ 且区域关于 $y=x$ 对称 → 轮换对称性使 $\iint (x-y)=0$，只剩常数项=面积。坑：$xy=c$ 的极坐标是 $r^2\sin \theta \cos \theta =c$ 即 $r^2=2c/\sin 2\theta$。

本题考查二重积分（轮换对称性 + 极坐标）。 交换 $x,y$ 后，$xy=\frac{1}{3},xy=3$ 方程不变，$y=\frac{1}{3}x$ 与 $y=3x$ 互换，故区域 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称，对 $x,y$ 具有轮换对称性。

由轮换对称性 ${\iint }_{D}x\mathrm{d}\sigma ={\iint }_{D}y\mathrm{d}\sigma$，于是 ${\iint }_D(1+x-y)\mathrm{d}\sigma ={\iint }_{D}1\mathrm{d}\sigma$，即化为求 $D$ 的面积。

极坐标下 $xy=c$ 化为 $r^2=\frac{2c}{\sin 2\theta }$，故 $r$ 从 $\sqrt{\frac{2}{3\sin 2\theta }}$ 到 $\sqrt{\frac{6}{\sin 2\theta }}$；直线 $y=kx$ 化为 $\theta =\arctan k$，故 $\theta \in [\arctan \frac{1}{3},\arctan 3]$。

${\iint }_D\mathrm{d}\sigma ={\int }_{\arctan 1/3}^{\arctan 3}\mathrm{d}\theta {\int }_{\sqrt{2/(3\sin 2\theta )}}^{\sqrt{6/\sin 2\theta }}r\mathrm{d}r=\frac{8}{3}{\int }_{\arctan 1/3}^{\arctan 3}\csc 2\theta \mathrm{d}\theta$。由 $\csc 2\theta -\cot 2\theta =\tan \theta$，得 $=\frac{4}{3}\ln |\tan \theta |{|}_{\arctan 1/3}^{\arctan 3}=\frac{4}{3}\left(\ln 3-\ln \frac{1}{3}\right)=\frac{8}{3}\ln 3$。