2024 年考研数学（三） 第 18 题

隐函数求指定点二阶偏导 → 逐次对方程求偏导后「立即代入数值」，避免展开一般表达式。坑：$y=0$ 使 $\frac{2yz}{1+z^2}$ 项当场为 0，但对 $y$ 再求导时该项会贡献 $-2\ln (1+z^2)$。

本题考查二元隐函数的二阶偏导。 代入 $x=0,y=0$：$z+1-0=0\Rightarrow z(0,0)=-1$。

对方程关于 $x$ 求偏导：$\frac{\partial z}{\partial x}+e^x-\frac{2yz}{1+z^2}\frac{\partial z}{\partial x}=0$。代 $(0,0),z=-1$ 得 $\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(0,0)}=-1$。再对 $x$ 求导并代入得 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}{|}_{(0,0)}+1=0$，即 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}{|}_{(0,0)}=-1$。

对方程关于 $y$ 求偏导：$\frac{\partial z}{\partial y}-\ln (1+z^2)-\frac{2yz}{1+z^2}\frac{\partial z}{\partial y}=0$。代 $(0,0),z=-1$ 得 $\frac{\partial z}{\partial y}{|}_{(0,0)}=\ln 2$。再对 $y$ 求导并代入得 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}{|}_{(0,0)}-2\ln 2=0$，即 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}{|}_{(0,0)}=-2\ln 2$。

故 $\left(\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}\right){|}_{(0,0)}=-1+(-2\ln 2)=-1-2\ln 2$。