2024 年考研数学（三） 第 19 题

变上下限积分的最值 → 用 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{a(t)}^{b(t)}g=g(b)b^{\prime }-g(a)a^{\prime }$ 求导并令为 0。坑：上限 $2t$ 求导带系数 2；求出驻点后仍要把 $S(\ln 2)$ 算出来。

本题考查平面图形面积与一元函数最值。 因 $x>0$ 时 $x{e}^{-2x}>0$，故 $S(t)={\int }_t^{2t}x{e}^{-2x}\mathrm{d}x$。

由变限积分求导 $S^{\prime }(t)=2\cdot (2t)e^{-4t}-t{e}^{-2t}=4t{e}^{-4t}-t{e}^{-2t}=t{e}^{-4t}\left(4-e^{2t}\right)$。令 $4-e^{2t}=0$ 得 $t=\ln 2$。

当 $0<t<\ln 2$ 时 $S^{\prime }(t)>0$，$t>\ln 2$ 时 $S^{\prime }(t)<0$，故 $S(t)$ 在 $t=\ln 2$ 取得最大值。

分部积分 $S(\ln 2)={\int }_{\ln 2}^{2\ln 2}x{e}^{-2x}\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}\left(x{e}^{-2x}{|}_{\ln 2}^{2\ln 2}-{\int }_{\ln 2}^{2\ln 2}{e}^{-2x}\mathrm{d}x\right)=\frac{\ln 2}{16}+\frac{3}{64}$。