2024 年考研数学（三） 第 20 题

证「$f$ 与其端点线性插值之差」的界 → 两端点泰勒展开后线性组合消一次项，用二阶导界放缩；积分型不等式再对点态不等式积分。坑：组合系数取 $x$ 与 $(x-1)$ 才能同时消去 $f^{\prime }(0)=f^{\prime }(1)$ 项。

本题考查泰勒公式、中值定理与定积分不等式。（Ⅰ）分别在 $x=0$、$x=1$ 处对 $f$ 作一阶泰勒展开：$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }({\xi }_1)}{2}{x}^2$，$f(x)=f(1)+f^{\prime }(1)(x-1)+\frac{f^{\prime \prime }({\xi }_2)}{2}(x-1{)}^2$，其中 ${\xi }_1$ 介于 $0,x$ 之间，${\xi }_2$ 介于 $1,x$ 之间。

第二式 $\times x$ 减第一式 $\times (x-1)$，并用 $f^{\prime }(0)=f^{\prime }(1)$ 消去一次项，得 $f(x)=f(0)(1-x)+f(1)x+\frac{x(x-1)}{2}[f^{\prime \prime }({\xi }_2)(x-1)-f^{\prime \prime }({\xi }_1)x]$。

于是 $x\in (0,1)$ 时 $\left|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x\right|=\frac{x(1-x)}{2}|f^{\prime \prime }({\xi }_2)(x-1)-f^{\prime \prime }({\xi }_1)x|\le \frac{x(1-x)}{2}[(1-x)+x]=\frac{x(1-x)}{2}$（用 $|f^{\prime \prime }|\le 1$）。

（Ⅱ）注意 ${\int }_0^1[f(0)(1-x)+f(1)x]\mathrm{d}x=\frac{f(0)+f(1)}{2}$，对（Ⅰ）不等式在 $[0,1]$ 上积分：$\left|{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right|\le {\int }_0^1\frac{x(1-x)}{2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{12}$。