2024 年考研数学（三） 第 21 题

「$Ax=\alpha$ 的解都是 $Bx=\beta$ 的解」+「不同解」→ 解集真包含 → $r(B)<r(A)$。坑：$B$ 已有 2 阶非零子式故 $r(B)\ge 2$，只能 $r(B)=2$，由此定 $a$。

本题考查线性方程组的解及同解问题。（Ⅰ）对 $(\mathbf{A},\mathbf{\alpha })$ 作初等行变换化为 $\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 1& 1\\ 0& 1& 0& 2& 1\\ 0& 0& 1& 1& 0\end{array}\right)$，故 $r(\mathbf{A})=3$，$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{\alpha }$ 的通解为 $k(-1,-2,-1,1{)}^{\mathrm{T}}+(1,1,0,0{)}^{\mathrm{T}}$（$k$ 任意）。

把该通解代入得 $\mathbf{B}\left[k(-1,-2,-1,1{)}^{\mathrm{T}}+(1,1,0,0{)}^{\mathrm{T}}\right]=(1,0,-1{)}^{\mathrm{T}}=\mathbf{\beta }$ 对任意 $k$ 成立，故 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{\alpha }$ 的解都是 $\mathbf{B}\mathbf{x}=\mathbf{\beta }$ 的解。

（Ⅱ）由（Ⅰ）$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{\alpha }$ 的解集含于 $\mathbf{B}\mathbf{x}=\mathbf{\beta }$ 的解集；两者不同解 $\iff$ 真包含 $\iff r(\mathbf{B})<r(\mathbf{A})=3$。又 $\mathbf{B}$ 有 2 阶非零子式 $\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& -1\end{array}\right|\ne 0$，故 $r(\mathbf{B})\ge 2$，从而 $r(\mathbf{B})=2$。

对 $\mathbf{B}$ 作行变换可化为主对角含 $a-1$ 的阶梯形，$r(\mathbf{B})=2$ 当且仅当 $a-1=0$，即 $a=1$。