设总体 X 服从 [0,θ] 上的均匀分布，其中 θ∈(0,+∞) 为未知参数，X1,X2,⋯,Xn 为来自总体 X 的简单随机样本。记 X(n)=max{X1,X2,⋯,Xn}，Tc=cX(n)。（Ⅰ）求 c，使得 E(Tc)=θ；（Ⅱ）记 h(c)=E[(Tc−θ)2]，求 c 使得 h(c) 最小。
提示 1
先求最大值 Y=X(n) 的分布：FY(y)=[FX(y)]n，再求密度 fY。提示 2
（Ⅰ）算 E(Y)=n+1nθ，令 cE(Y)=θ 解 c（无偏）。提示 3
（Ⅱ）h(c)=c2E(Y2)−2cθE(Y)+θ2 是 c 的开口向上二次函数，求顶点。答案与详解
答案 （Ⅰ）c=nn+1；（Ⅱ）c=n+1n+2。
思路（为什么这么做）
含 max{Xi} 的估计 → 先用 FY=FXn 求出最大值的分布再算矩。无偏定 c 用 E(Tc)=θ；最小均方误 h(c) 是 c 的二次函数，取顶点。坑：E(Y),E(Y2) 分母分别是 n+1,n+2。
解答
本题考查次序统计量的分布、数学期望与估计量的优良性。（Ⅰ）X∼U[0,θ]，FX(x)=θx(0≤x<θ)。记 Y=X(n)=max，由独立性 FY(y)=[FX(y)]n=(θy)n(0≤y<θ)，密度 fY(y)=θnnyn−1(0<y<θ)。
E(Y)=∫0θy⋅θnnyn−1dy=n+1nθ。由 E(Tc)=cE(Y)=n+1cnθ=θ 得 c=nn+1。
（Ⅱ）E(Y2)=∫0θy2θnnyn−1dy=n+2nθ2。故 h(c)=E[(cY−θ)2]=c2E(Y2)−2cθE(Y)+θ2=(n+2nc2−n+12nc+1)θ2。
h′(c)=(n+22nc−n+12n)θ2=0⇒c=n+1n+2；又 h′′(c)=n+22nθ2>0，故 c=n+1n+2 时 h(c) 最小。