2023 年考研数学（三） 第 7 题

求「既能被这组、又能被那组表示」的向量（两生成子空间之交）→ 拼成 $({\alpha }_1,{\beta }_1,{\alpha }_2,{\beta }_2)x=0$ 解齐次组，再代回任一组还原 $\gamma$。坑：列的排布与符号 $-l_1,-l_2$，代回时用 $\alpha$ 组。

本题考查向量的线性表示与齐次方程组求解。 设 $\gamma =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2=l_1{\beta }_1+l_2{\beta }_2$，则 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2-l_1{\beta }_1-l_2{\beta }_2=0$，即 $(k_1,-l_1,k_2,-l_2{)}^{\mathrm{T}}$ 是齐次方程组 $({\alpha }_1,{\beta }_1,{\alpha }_2,{\beta }_2)x=0$ 的解。

对 $({\alpha }_1,{\beta }_1,{\alpha }_2,{\beta }_2)=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 1\\ 2& 5& 1& 0\\ 3& 9& 1& 1\end{array}\right)$ 作初等行变换，得基础解系 $\xi =(3,-1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$，即 $(k_1,-l_1,k_2,-l_2{)}^{\mathrm{T}}=k(3,-1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$。

于是 $k_1=3k,k_2=-k$，$\gamma =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2=k(3{\alpha }_1-{\alpha }_2)=k\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 8\end{array}\right)$。选 D。