2023 年考研数学（三） 第 6 题

求规范形 = 定正/负惯性指数 $(p,q)$。$|A|=0$ 卡上界，代几个点各出一正一负卡下界，夹出 $p=q=1$。坑：三个平方项线性相关（$x_2-x_3$ 可由前两项表出），秩只有 2，别被「三个平方」骗成满秩。

本题考查二次型的规范形，由正、负惯性指数决定。 展开 $f=2x_1^2-3x_2^2-3x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+8x_2{x}_3$，对应矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& -3& 4\\ 1& 4& -3\end{array}\right)$。

计算 $|A|=0$（第 2、3 行相加后与第 1 行成比例），故 $A$ 有零特征值，$r(A)\le 2$，正、负惯性指数之和 $\le 2$。

取值判号：$f(1,0,0)=2>0$ 说明正惯性指数 $\ge 1$；$f(0,0,1)=1-4=-3<0$ 说明负惯性指数 $\ge 1$。两者之和 $\le 2$ 且各 $\ge 1$，故正、负惯性指数都为 $1$。

规范形 $=y_1^2-y_2^2$，选 B。