2023 年考研数学（三） 第 5 题

分块矩阵求伴随 → 走 $M^{\ast }=|M|M^{-1}$，$|M|=|A||B|$，再把 $|A||B|A^{-1}$ 拆成 $|B|\cdot (|A|A^{-1})=|B|A^{\ast }$。坑：右上角是 $-A^{\ast }{B}^{\ast }$，系数分配与顺序别弄反。

本题考查伴随矩阵公式 $M^{\ast }=|M|M^{-1}$（$M$ 可逆时）与分块矩阵求逆。 记 $M=\left(\begin{array}{cc}A& E\\ O& B\end{array}\right)$，因 $A,B$ 可逆，$|M|=|A||B|\ne 0$，$M$ 可逆。

分块上三角求逆：$M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}{B}^{-1}\\ O& B^{-1}\end{array}\right)$（可由 $M{M}^{-1}=E$ 待定系数验证）。

$M^{\ast }=|M|M^{-1}=|A||B|\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}{B}^{-1}\\ O& B^{-1}\end{array}\right)$。逐块用 $|A|A^{-1}=A^{\ast },|B|B^{-1}=B^{\ast }$：左上 $|A||B|A^{-1}=|B|A^{\ast }$，右下 $=|A|B^{\ast }$，右上 $-|A||B|A^{-1}{B}^{-1}=-(|A|A^{-1})(|B|B^{-1})=-A^{\ast }{B}^{\ast }$。

故 $M^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}|B|A^{\ast }& -A^{\ast }{B}^{\ast }\\ O& |A|B^{\ast }\end{array}\right)$，选 B。