乐思数学通 › 考研数学（三） › 真题检索 › 2023 年

2023 年考研数学（三）第 4 题

选择题 · 5 分

已知

a_{n} < b_{n} (n = 1, 2, \dots)

。若级数

n = 1 \sum \infty a_{n}

与

n = 1 \sum \infty b_{n}

均收敛，则「

n = 1 \sum \infty a_{n}

绝对收敛」是「

n = 1 \sum \infty b_{n}

绝对收敛」的（　　）。

A充分必要条件
B充分不必要条件
C必要不充分条件
D既不充分也不必要条件

提示 1

关键中间量：

\sum (b_{n} - a_{n})

是收敛的正项级数（

b_{n} - a_{n} > 0

且两级数收敛），故绝对收敛。

提示 2

用三角不等式把

∣ b_{n} ∣

控制为

∣ b_{n} - a_{n} ∣ + ∣ a_{n} ∣

，反向同理。

提示 3

正项级数比较判别法即得两个「绝对收敛」互相推出。

答案与详解

答案 A

思路（为什么这么做）

见「

a_{n} < b_{n}

且

\sum a_{n}, \sum b_{n}

都收敛」→ 造正项级数

\sum (b_{n} - a_{n})

作桥梁，再用三角不等式+比较判别法。坑：差

b_{n} - a_{n} \geq 0

是能用比较判别法的前提。

解答

本题考查绝对收敛的概念与正项级数比较判别法。 由

a_{n} < b_{n}

且两级数都收敛，

\sum (b_{n} - a_{n})

是收敛的正项级数，从而绝对收敛。

由三角不等式

∣ b_{n} ∣ \leq ∣ b_{n} - a_{n} ∣ + ∣ a_{n} ∣

，

∣ a_{n} ∣ \leq ∣ b_{n} - a_{n} ∣ + ∣ b_{n} ∣

。

若

\sum ∣ a_{n} ∣

收敛，配合

\sum ∣ b_{n} - a_{n} ∣

收敛及比较判别法得

\sum ∣ b_{n} ∣

收敛（充分性）；反之若

\sum ∣ b_{n} ∣

收敛，同理得

\sum ∣ a_{n} ∣

收敛（必要性）。故两者互为充要条件，选 A。

考点：交错级数与绝对/条件收敛、正项级数的判别法

← 2023 年全部题目