2023 年考研数学（三） 第 3 题

常系数齐次「所有解有界」⇔ 特征根为一对纯虚根 ⇔ $a=0,b>0$。坑：只要有实特征根或复根实部 $\alpha \ne 0$，就存在无界解。

本题考查二阶常系数齐次线性方程通解的三种情形，要求「所有解都有界」。 特征方程为 ${\lambda }^2+a\lambda +b=0$。

若 $\Delta >0$（两不等实根）或 $\Delta =0$（重根 $\lambda$），通解含 $e^{\lambda x}$ 或 $x{e}^{\lambda x}$；只要有非零实根，取相应常数即得无界解，必须排除。

若 $\Delta <0$，共轭复根 $\lambda =\alpha \pm \beta i$，通解 $e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$。$\alpha =-\frac{a}{2}\ne 0$ 时 $e^{\alpha x}$ 无界；只有 $\alpha =0$ 即 $a=0$ 时，解 $C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x$ 才对任意常数有界。

$a=0$ 且 $\Delta =-4b<0\Rightarrow b>0$。故选 C。