2023 年考研数学（三） 第 2 题

分段函数求原函数 → 先「求导验证」每段导数=被积函数排除一批，再用「原函数在分界点连续」定常数。坑：$\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$，符号别记反。

本题考查原函数的概念：$F$ 必须处处可导（从而连续）且 $F^{\prime }=f$。 先用「求导验证」定分段表达式，再用「$x=0$ 处连续」定常数。

$x>0$ 段：$[(x+1)\sin x+\cos x{]}^{\prime }=\sin x+(x+1)\cos x-\sin x=(x+1)\cos x$ ✓；而 $[(x+1)\cos x-\sin x{]}^{\prime }=-(x+1)\sin x\ne f$，排除 A、B。

$x\le 0$ 段：$[\ln (\sqrt{1+x^2}+x){]}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ ✓（C、D 都对），只剩 C、D，靠连续性区分。

原函数在 $x=0$ 必连续：右段 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }F=(0+1)\sin 0+\cos 0=1$；左段 C 的极限 $=\ln 1=0\ne 1$（不连续），左段 D 的极限 $=\ln 1+1=1$（连续）。故选 D。