2023 年考研数学（三） 第 1 题

被求导函数含绝对值 $|x\cdots |$ 时，该点偏导数要用定义算——出现 $\frac{|x|}{x}$ 就左右极限不等、偏导不存在。坑：别套求导公式，$|x|$ 在 $0$ 处不可导。

本题考查用偏导数的定义判断偏导数是否存在。 由于 $f$ 含 $|x\sin y|$，在 $(0,1)$ 处必须回到定义式逐个求偏导。先算 $f(0,1)=\ln 1=0$。

对 $x$：$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(0,1)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x,1)-f(0,1)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+|x|\sin 1)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|x|\sin 1}{x}$。左极限 $=-\sin 1$，右极限 $=\sin 1$，不相等，故 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 不存在。

对 $y$：$\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{(0,1)}=\underset{y\to 1}{\lim }\frac{f(0,y)-f(0,1)}{y-1}=\underset{y\to 1}{\lim }\frac{\ln y}{y-1}=1$，存在。综上 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 不存在、$\frac{\partial f}{\partial y}$ 存在，故选 A。