2023 年考研数学（三） 第 8 题

离散分布算 $E|X-c|$（$c=EX$）→ 用 $E(X-c)=0$ 把绝对值拆成「补齐求和 + 修正边界项」，或 $E|X-c|=2E[(c-X{)}^{+}]$。坑：$k=0$ 那项 $|0-1|=1$ 要单列。

本题考查泊松分布的分布律与期望计算。 $X\sim P(1)$ 时 $P(X=k)=\frac{e^{-1}}{k!}$，$E(X)=1$，故要算 $E|X-1|$，且 $P(X=0)=e^{-1}$。

利用 $E(X-1)=0$ 分组：$E|X-1|=1\cdot P(X=0)+\sum _{k=1}^{\infty }(k-1)P(X=k)=\frac{1}{e}+[E(X-1)-(0-1)P(X=0)]=\frac{1}{e}+0+\frac{1}{e}=\frac{2}{e}$。

（另解：$E|X-1|=2E[(1-X{)}^{+}]$，而 $(1-X{)}^{+}$ 仅在 $X=0$ 取 $1$，得 $2P(X=0)=\frac{2}{e}$。）故选 C。