2023 年考研数学（三）第 9 题

选择题 · 5 分

设

X_{1}, \dots, X_{n}

为来自总体

N (μ_{1}, σ^{2})

的简单随机样本，

Y_{1}, \dots, Y_{m}

为来自总体

N (μ_{2}, 2 σ^{2})

的简单随机样本，且两样本相互独立。记

\overset{ˉ}{X}, \overset{ˉ}{Y}

为样本均值，

S_{1}^{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2}, S_{2}^{2} = \frac{1}{m - 1} i = 1 \sum m (Y_{i} - \overset{ˉ}{Y})^{2}

，则（　　）。

提示 1

抽样分布定理：

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{总体方差} \sim χ^{2} (n - 1)

；注意

Y

总体方差是

2 σ^{2}

。

提示 2

F

分布

= \frac{χ ^{2} ( n _{1} ) / n _{1}}{χ ^{2} ( n _{2} ) / n _{2}}

，两卡方须独立（本题两样本独立）。

提示 3

相除时

σ^{2}

约掉，剩

\frac{S _{1}^{2} / σ ^{2}}{S _{2}^{2} /2 σ ^{2}} = \frac{2 S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}}

。

答案与详解

答案 D

思路（为什么这么做）

两正态样本方差之比 → 各自

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{方差} \sim χ^{2} (n - 1)

，按

F

定义相除，自由度是

n - 1, m - 1

。坑：

Y

方差

2 σ^{2}

不约成

1

，会多出系数

2

。

解答

本题考查正态总体样本方差的卡方分布与 $F$ 分布的定义。 由抽样分布定理：

\frac{( n - 1 ) S _{1}^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)

，

\frac{( m - 1 ) S _{2}^{2}}{2 σ ^{2}} \sim χ^{2} (m - 1)

（注意

Y

总体方差是

2 σ^{2}

）。

两样本独立，故两卡方变量独立。由

F

分布定义

F = \frac{U / n _{1}}{V / n _{2}}

：

\frac{[ ( n - 1 ) S _{1}^{2} / σ ^{2} ] / ( n - 1 )}{[ ( m - 1 ) S _{2}^{2} / ( 2 σ ^{2} ) ] / ( m - 1 )} = \frac{S _{1}^{2} / σ ^{2}}{S _{2}^{2} / ( 2 σ ^{2} )} = \frac{2 S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}} \sim F (n - 1, m - 1) .

故选 D。

2023 年考研数学（三） 第 9 题