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2023 年考研数学（三）第 10 题

选择题 · 5 分

设

X_{1}, X_{2}

为来自总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本，其中

σ (σ > 0)

为未知参数。记

\overset{σ}{^} = a ∣ X_{1} - X_{2} ∣

，若

E (\overset{σ}{^}) = σ

，则

a =

（　　）。

A $\frac{π}{2}$
B $\frac{2 π}{2}$
C $π$
D $2 π$

提示 1

记

Z = X_{1} - X_{2}

，两独立正态之差仍正态，

Z \sim N (0, 2 σ^{2})

。

提示 2

求

E ∣ Z ∣

：偶函数，

2 \int_{0}^{\infty} z \cdot (密度) d z

凑微分

d (z^{2})

积出，结果

\frac{2}{π} σ

。

提示 3

由无偏

E (\overset{σ}{^}) = σ

解出

a

。

答案与详解

答案 A

思路（为什么这么做）

「

E (\overset{σ}{^}) = σ

求系数」= 无偏估计定常数。核心是

E ∣ X_{1} - X_{2} ∣

：差

\sim N (0, 2 σ^{2})

，

E ∣ Z ∣ = \frac{2}{π} D (Z)

。坑：

D (Z) = 2 σ^{2}

别漏系数

2

。

解答

本题考查无偏估计与正态随机变量绝对值的期望。 令

Z = X_{1} - X_{2}

，因

X_{1}, X_{2}

独立同

N (μ, σ^{2})

，故

Z \sim N (0, 2 σ^{2})

。

E ∣ Z ∣ = \int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ z ∣ \cdot \frac{1}{2 π 2 σ} e^{- z^{2} / (4 σ^{2})} d z = 2 \int_{0}^{+ \infty} \frac{z}{2 π σ} e^{- z^{2} / (4 σ^{2})} d z = \frac{2}{π} σ

。

由

E (\overset{σ}{^}) = a E ∣ Z ∣ = \frac{2 a}{π} σ = σ

得

a = \frac{π}{2}

。选 A。

考点：估计量的评价标准（无偏、有效、一致）、常见连续分布（均匀、指数、正态）

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