2023 年考研数学（三） 第 11 题

$x\to \infty$ 且含 $\sin \frac{1}{x}$ 型 → 倒代换 $t=1/x$ 转 $t\to 0$，再上泰勒。坑：$\sin t$ 展到 $t^3$、$\cos t$ 展到 $t^2$（外面乘了 $t$），阶数不够会算错常数。

本题考查用倒代换 + 泰勒公式求未定式极限。 令 $t=\frac{1}{x}$，$x\to \infty$ 时 $t\to 0$，原式 $=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{2-\frac{\sin t}{t}-\cos t}{t^2}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{2t-\sin t-t\cos t}{t^3}$。

用 $\sin t=t-\frac{t^3}{6}+o(t^3),\cos t=1-\frac{t^2}{2}+o(t^2)$：分子 $=2t-(t-\frac{t^3}{6})-t(1-\frac{t^2}{2})+o(t^3)=\frac{t^3}{6}+\frac{t^3}{2}+o(t^3)=\frac{2}{3}{t}^3+o(t^3)$。

故极限 $=\frac{\frac{2}{3}{t}^3}{t^3}=\frac{2}{3}$。