2023 年考研数学（三） 第 12 题

已知全微分求 $f$ → 对一个变量积分、用另一偏导定「积分常数函数」$\phi (y)$、再用给定点定常数。识别 $\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}=-d\left(\arctan \frac{x}{y}\right)$ 更快。坑：$\arctan \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi }{6}$。

本题考查由全微分还原原函数。 由 $df=\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$ 得 $f_x=\frac{-y}{x^2+y^2},f_y=\frac{x}{x^2+y^2}$。

对 $x$ 积分（$y>0$ 视为常数）：$f=\int \frac{-y}{x^2+y^2}dx=-\arctan \frac{x}{y}+\phi (y)$。再对 $y$ 求偏导与 $f_y$ 比较，得 ${\phi }^{\prime }(y)=0$，故 $\phi (y)=C$，即 $f=-\arctan \frac{x}{y}+C$。

由 $f(1,1)=\frac{\pi }{4}$：$-\frac{\pi }{4}+C=\frac{\pi }{4}\Rightarrow C=\frac{\pi }{2}$。故 $f(\sqrt{3},3)=-\arctan \frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{3}$。