2023 年考研数学（三） 第 13 题

幂级数只有偶次项 → 用 $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$（偶）或 $\frac{e^x-e^{-x}}{2}$（奇）拼；或逐项求导两次得 $S^{\prime \prime }=S$ 转微分方程。坑：确认收敛域为全体实数。

本题考查幂级数求和（利用初等函数的麦克劳林展开）。 已知 $e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$，$e^{-x}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^n}{n!}$，收敛域 $(-\infty ,+\infty )$。

相加：$e^x+e^{-x}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{[1+(-1{)}^n]x^n}{n!}=2\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{(2n)!}$（奇次项抵消，偶次项翻倍）。

故 $\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{(2n)!}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$。