2023 年考研数学（三） 第 18 题

无界区域求面积/旋转体体积 → 直接写成 ${\int }_1^{+\infty }$ 反常积分。$\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}$ 用三角代换 $x=\tan t$；$\frac{1}{x^2(1+x^2)}$ 用部分分式 $\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x^2}$。坑：上限取极限，$\arctan (+\infty )=\frac{\pi }{2}$、$-\frac{1}{x}\to 0$。

本题考查定积分的几何应用（面积、旋转体体积），且都是无穷限反常积分。 $D$ 是曲线 $y=\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}$、直线 $x=1$ 与 $x$ 轴围成的无界区域。

（Ⅰ）$S={\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x\sqrt{1+x^2}}$。令 $x=\tan t$，$dx={\sec }^{2}tdt$，$\sqrt{1+x^2}=\sec t$，$x:1\to +\infty$ 对应 $t:\frac{\pi }{4}\to \frac{\pi }{2}$：$S={\int }_{\pi /4}^{\pi /2}\frac{{\sec }^{2}t}{\tan t\sec t}dt={\int }_{\pi /4}^{\pi /2}\frac{dt}{\sin t}$。用 $u=\cos t$ 化为 $\frac{1}{2}\ln \frac{1+u}{1-u}{|}_0^{\sqrt{2}/2}=\ln (\sqrt{2}+1)$。

（Ⅱ）圆盘法：$V={\int }_1^{+\infty }\pi {\left(\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^2(1+x^2)}$。部分分式 $\frac{1}{x^2(1+x^2)}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x^2}$，$$V=\pi \left(-\frac{1}{x}-\arctan x\right){|}_1^{+\infty }=\pi \left[(0-\frac{\pi }{2})-(-1-\frac{\pi }{4})\right]=\pi \left(1-\frac{\pi }{4}\right).$$