2023 年考研数学（三） 第 17 题

隐函数定 $a,b$ + 判极值 → 逐次对方程整体求导并代 $x=0,y=0,y^{\prime }=0$（每次只解一个未知量）；$y^{\prime \prime }(0)$ 符号定极大/极小。坑：$\ln (1+x)$ 相关项在 $x=0$ 处为 $0$，但 $\frac{\cos y}{1+x}$ 项不为 $0$，别整体丢掉。

本题考查一元隐函数求导与极值第二充分条件。（Ⅰ）把 $x=0,y=0$ 代入原方程：$a\cdot 1+0+0-\ln 1\cdot 1+b=0\Rightarrow a+b=0$。

对方程两端关于 $x$ 求导：$a{e}^x+2y{y}^{\prime }+y^{\prime }-\frac{\cos y}{1+x}+\ln (1+x)y^{\prime }\sin y=0\cdots (1)$。代 $x=0,y=0,y^{\prime }=0$：$a-1=0$。联立 $a+b=0$ 得 $a=1,b=-1$。

（Ⅱ）$y^{\prime }(0)=0$ 说明 $x=0$ 是驻点，用 $y^{\prime \prime }(0)$ 的符号判断。把 $a=1$ 代入 $(1)$ 再对 $x$ 求导：$e^x+2(y^{\prime }{)}^2+2y{y}^{\prime \prime }+y^{\prime \prime }+\frac{\cos y}{(1+x{)}^2}+\frac{2y^{\prime }\sin y}{1+x}+\ln (1+x)y^{\prime \prime }\sin y+\ln (1+x)(y^{\prime }{)}^2\cos y=0$。

代 $x=0,y=0,y^{\prime }=0$：$1+y^{\prime \prime }(0)+1=0\Rightarrow y^{\prime \prime }(0)=-2<0$。由极值第二充分条件，$x=0$ 是 $y(x)$ 的极大值点。