2023 年考研数学（三） 第 16 题

求 $X+Y$ 与 $X-Y$ 相关系数 → 用 $\mathrm{Cov}(X+Y,X-Y)=D(X)-D(Y)$，分母 $\sqrt{D(X+Y)D(X-Y)}$；独立时结果只与方差比有关（与 $p$ 无关）。坑：$B(2,p)$ 方差是 $2p(1-p)$。

本题考查二项分布数字特征与相关系数。 $X\sim B(1,p)$ 有 $D(X)=p(1-p)$；$Y\sim B(2,p)$ 有 $D(Y)=2p(1-p)$。

独立故 $D(X+Y)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)=3p(1-p)$。协方差 $\mathrm{Cov}(X+Y,X-Y)=D(X)-D(Y)=-p(1-p)$（交叉项 $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$）。

$\rho =\frac{\mathrm{Cov}(X+Y,X-Y)}{\sqrt{D(X+Y)}\sqrt{D(X-Y)}}=\frac{-p(1-p)}{3p(1-p)}=-\frac{1}{3}$。