2023 年考研数学（三） 第 15 题

「$4$ 个方程 $3$ 个未知数且有解」→ $r(A,b)\le 3$ → 四阶增广行列式为 $0$；再按含常数列展开，把已知与未知的三阶子式联立。坑：按第四列展开时代数余子式符号 $(-1{)}^{i+4}$ 要算准。

本题考查非齐次线性方程组有解条件 $r(A)=r(A,b)$ 与行列式按列展开。 系数矩阵 $A$ 为 $4\times 3$，增广矩阵 $(A,b)=\left(\begin{array}{cccc}a& 0& 1& 1\\ 1& a& 1& 0\\ 1& 2& a& 0\\ a& b& 0& 2\end{array}\right)$。

有解 $\Rightarrow r(A)=r(A,b)$。因 $A$ 只有 $3$ 列，$r(A)\le 3$，故 $r(A,b)\le 3$，从而 $4$ 阶行列式 $|A,b|=0$。

将 $|A,b|$ 按第四列展开：$|A,b|=-\left|\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ 1& 2& a\\ a& b& 0\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{ccc}a& 0& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 2& a\end{array}\right|=-D+2\times 4=0$，故 $D=\left|\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ 1& 2& a\\ a& b& 0\end{array}\right|=8$。