2023 年考研数学（三） 第 19 题

二重积分被积含 $|\sqrt{x^2+y^2}-1|$ → 以 $r=1$ 为界分区去绝对值；圆 $(x-1{)}^2+y^2=1$ 化极坐标 $r=2\cos \theta$，用「整块减两倍内块」避免重复积分。坑：内块 $D_2$ 上边界在 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 处由 $r=1$ 切到 $r=2\cos \theta$，需分段。

本题考查二重积分（绝对值分区 + 对称性 + 极坐标）。 被积 $|\sqrt{x^2+y^2}-1|$ 关于 $y$ 为偶函数，$D$ 关于 $x$ 轴对称，故 $I=2{\iint }_{D_1}|\sqrt{x^2+y^2}-1|dxdy$，$D_1$ 为 $D$ 的上半部分。

以单位圆 $x^2+y^2=1$ 为界拆绝对值：圆外为 $\sqrt{x^2+y^2}-1$，圆内为 $1-\sqrt{x^2+y^2}$。记 $D_2=D_1\cap \{x^2+y^2\le 1\}$，则 ${\iint }_{D_1}|\cdot |={\iint }_{D_1}(\sqrt{x^2+y^2}-1)-2{\iint }_{D_2}(\sqrt{x^2+y^2}-1)$。

极坐标下 $D_1:0\le r\le 2\cos \theta ,0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$。用 ${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^3\theta d\theta =\frac{2}{3},{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^2\theta d\theta =\frac{\pi }{4}$ 得 ${\iint }_{D_1}(\sqrt{x^2+y^2}-1)={\int }_0^{\pi /2}{\int }_0^{2\cos \theta }(r-1)rdrd\theta =\frac{16}{9}-\frac{\pi }{2}$。

两圆在上半平面交于 $(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，对应 $\theta =\frac{\pi }{3}$，$D_2$ 分成 $\{0\le r\le 1,0\le \theta \le \frac{\pi }{3}\}$ 与 $\{0\le r\le 2\cos \theta ,\frac{\pi }{3}\le \theta \le \frac{\pi }{2}\}$，算得 ${\iint }_{D_2}(\sqrt{x^2+y^2}-1)=-\frac{2\pi }{9}+\frac{16}{9}-\frac{3\sqrt{3}}{4}$。

于是 ${\iint }_{D_1}|\cdot |=(\frac{16}{9}-\frac{\pi }{2})-2(-\frac{2\pi }{9}+\frac{16}{9}-\frac{3\sqrt{3}}{4})=-\frac{16}{9}-\frac{\pi }{18}+\frac{3\sqrt{3}}{2}$，最终 $I=2\times (\cdots )=3\sqrt{3}-\frac{32}{9}-\frac{\pi }{9}(\approx 1.2915)$。