2021 年考研数学（三） 第 21 题

“仅两个不同特征值 + 可对角化定参数” → 先由特征多项式定重根位置，再用“重根几何重数 $=$ 代数重数（即 $r(\lambda E-A)=n-$重数）”定另一参数。坑：本题有 $b=1$ 与 $b=3$ 两组解，都要讨论并给出各自的 $P$。

本题考查特征值、特征向量与相似对角化。 按第三列展开得特征多项式 $|\lambda E-A|=(\lambda -b)\left[(\lambda -2{)}^2-1\right]=(\lambda -1)(\lambda -3)(\lambda -b)$，特征值为 $1,3,b$。仅两个不同特征值 $\Rightarrow b=1$ 或 $b=3$。

若 $b=1$（特征值 $1,1,3$）：可对角化需 $r(E-A)=1$，由 $E-A\to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1-a& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ 得 $a=1$。属 $1$ 的特征向量 $(-1,1,0{)}^T,(0,0,1{)}^T$，属 $3$ 的 $(1,1,1{)}^T$。取 $P=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$，$P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,1,3)$。

若 $b=3$（特征值 $1,3,3$）：可对角化需 $r(3E-A)=1$，得 $a=-1$。属 $3$ 的特征向量 $(1,1,0{)}^T,(0,0,1{)}^T$，属 $1$ 的 $(-1,1,1{)}^T$。取 $P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$，$P^{-1}AP=\mathrm{diag}(3,3,1)$。

故 $a=1,b=1$ 或 $a=-1,b=3$，对应上述可逆矩阵 $P$。