2021 年考研数学（三） 第 20 题

“先解 ODE 得通项、再对 $\sum y_n(x)$ 求和” → 分离变量 + 幂级数裂项，借标准和 $\sum x^n/n=-\ln (1-x)$。坑：端点 $x=1$ 的和要单独算（$s(1)=1$），和函数是分段的。

本题考查一阶微分方程求解与幂级数求和。（Ⅰ）分离变量：$\frac{dy}{y}=\frac{n+1}{x}dx$，积分得 $y=C{x}^{n+1}$。代入 $y_n(1)=\frac{1}{n(n+1)}$ 得 $C=\frac{1}{n(n+1)}$，故 $y_n(x)=\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$。

（Ⅱ）记 $s(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$，由 $\lim \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$ 知收敛半径为 $1$。端点 $x=1$：$\sum \frac{1}{n(n+1)}$ 收敛；$x=-1$：交错级数收敛。故收敛域 $[-1,1]$。

用 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 拆项，借助 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}=-\ln (1-x)(|x|<1)$，当 $x\in [-1,1)$ 时化简得 $s(x)=(1-x)\ln (1-x)+x$。

$x=1$ 时 $s(1)=\sum \frac{1}{n(n+1)}=1$（裂项求和）。故 $s(x)=\{\begin{array}{ll}(1-x)\ln (1-x)+x,& x\in [-1,1),\\ 1,& x=1.\end{array}$