2021 年考研数学（三） 第 19 题

圆/扇形区域 + 含 $(x+y{)}^2,x^2-y^2$ 的被积 → 极坐标，且选先对 $\theta$ 积（$\cos 2\theta$ 恰是指数中 $\sin 2\theta$ 的微分）。坑：积分次序要选对，先 $\theta$ 后 $r$ 才能整体凑微分。

本题考查二重积分的极坐标计算。 区域 $D=\left\{(r,\theta )|0\le r\le 1,0\le \theta \le \frac{\pi }{4}\right\}$。令 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，则 $(x+y{)}^2=r^2(1+\sin 2\theta )$，$x^2-y^2=r^2\cos 2\theta$。

原式 $={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\int }_0^1{e}^{r^2(1+\sin 2\theta )}{r}^3\cos 2\theta drd\theta$。先对 $\theta$ 积分，注意 $\cos 2\theta d\theta =d\left(\frac{1+\sin 2\theta }{2}\right)$。

$=\frac{1}{2}{\int }_0^1{r}^3\cdot \frac{e^{r^2(1+\sin 2\theta )}}{r^2}{|}_{\theta =0}^{\theta =\frac{\pi }{4}}dr=\frac{1}{2}{\int }_0^{1}r\left(e^{2r^2}-e^{r^2}\right)dr=\frac{1}{4}{\int }_0^1\left(e^{2r^2}-e^{r^2}\right)d(r^2)$。

$=\frac{1}{4}{\left[\frac{e^{2r^2}}{2}-e^{r^2}\right]}_0^1=\frac{1}{8}\left(e^2-2e+1\right)=\frac{(e-1{)}^2}{8}$。