2021 年考研数学（三） 第 18 题

二元函数求极值 → 解驻点、算二阶偏导、用 $AC-B^2$ 判别。坑：$\ln |x|$ 定义域 $x\ne 0$；两个驻点都是极小值点，别漏 $(-1,0)$，也别误判有极大值。

本题考查二元函数极值（充分条件 $AC-B^2$ 判别）。 先求驻点：$f_x^{\prime }=\frac{2x^2+x-1-y^2}{x^3}$，$f_y^{\prime }=\frac{y}{x^2}$。

令 $f_y^{\prime }=0$ 得 $y=0$，代入 $f_x^{\prime }=0$ 得 $2x^2+x-1=0$，解得 $x=\frac{1}{2}$ 或 $x=-1$。故驻点 $\left(\frac{1}{2},0\right),(-1,0)$。

二阶偏导 $f_{xx}^{\prime \prime }=\frac{-2x^2-2x+3+3y^2}{x^4},f_{xy}^{\prime \prime }=-\frac{2y}{x^3},f_{yy}^{\prime \prime }=\frac{1}{x^2}$。

在 $(-1,0)$：$A=3,B=0,C=1$，$AC-B^2=3>0,A>0$，为极小值点，$f(-1,0)=2$。在 $\left(\frac{1}{2},0\right)$：$A=24,B=0,C=4$，$AC-B^2>0,A>0$，为极小值点，$f\left(\frac{1}{2},0\right)=\frac{1}{2}-2\ln 2$。函数无极大值。