2021 年考研数学（三） 第 17 题

含 $\arctan \frac{1}{x}$ 或 $(1+|x|{)}^{1/x}$ 的极限求参数 → 左右极限分别算再令相等。坑：左侧 $(1+|x|{)}^{1/x}=(1-x{)}^{1/x}\to e^{-1}$（不是 $e$），$\arctan \frac{1}{x}$ 左右差一个 $\pi$。

本题考查用“左右极限相等”确定参数。 $\arctan \frac{1}{x}$ 与 $(1+|x|{)}^{1/x}$ 在 $x=0$ 两侧极限不同，需分别算左、右极限。

右极限（$x\to 0^{+}$）：$\arctan \frac{1}{x}\to \frac{\pi }{2}$，$(1+x{)}^{1/x}\to e$，故右极限 $=\frac{\pi }{2}\alpha +e$。

左极限（$x\to 0^{-}$）：$\arctan \frac{1}{x}\to -\frac{\pi }{2}$，此时 $|x|=-x$，$(1-x{)}^{1/x}\to e^{-1}$（因 $\frac{\ln (1-x)}{x}\to -1$），故左极限 $=-\frac{\pi }{2}\alpha +\frac{1}{e}$。

极限存在要求左、右极限相等：$\frac{\pi }{2}\alpha +e=-\frac{\pi }{2}\alpha +\frac{1}{e}$，解得 $\alpha =\frac{1}{\pi }\left(\frac{1}{e}-e\right)$。