乐思数学通 › 考研数学（三） › 真题检索 › 2021 年

2021 年考研数学（三）第 16 题

填空题 · 5 分

甲、乙两个盒子中各装有

2

个红球和

2

个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒，再从乙盒中任取一球，令

X, Y

分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球的个数，则

X

与

Y

的相关系数为 ______。

提示 1

X, Y

均为

0

1

变量，先各自算

E, D

（

D = \frac{1}{4}

）。

提示 2

Y

的分布用全概率：先算

P (Y = 1 ∣ X)

再合成

P (Y = 1) = \frac{1}{2}

。

提示 3

E (X Y) = P (X = 1, Y = 1)

，代入相关系数公式。

答案与详解

答案 $\frac{1}{5}$

思路（为什么这么做）

求两个

0

1

变量的相关系数 → 分别求

E, D

，用

Cov = E (X Y) - E X E Y

、

E (X Y) = P (X = 1, Y = 1)

。坑：

Y

依赖甲盒放入的球，

P (Y = 1 ∣ X = 1) = 3/5, P (Y = 1 ∣ X = 0) = 2/5

用条件概率算。

解答

本题考查相关系数 $ρ = \frac{Cov ( X , Y )}{D ( X ) D ( Y )}$ 。

X \in {0, 1}

，

P (X = 1) = P (X = 0) = \frac{1}{2}

，故

E (X) = \frac{1}{2}, D (X) = \frac{1}{4}

。

Y ∣ X = 1

（乙盒

3

红

2

白）取红概率

\frac{3}{5}

，

Y ∣ X = 0

（乙盒

2

红

3

白）取红概率

\frac{2}{5}

。由全概率

P (Y = 1) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

，故

E (Y) = \frac{1}{2}, D (Y) = \frac{1}{4}

。

E (X Y) = P (X = 1, Y = 1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10}

，

Cov (X, Y) = \frac{3}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{20}

。

ρ = \frac{1/20}{( 1/4 ) ( 1/4 )} = \frac{1/20}{1/4} = \frac{1}{5}

。

考点：协方差与相关系数、条件概率与乘法公式、数学期望

← 2021 年全部题目

2021 年考研数学（三） 第 16 题

2021 年考研数学（三）第 16 题