2021 年考研数学（三） 第 15 题

求行列式中某次幂系数 → 回到“取自不同行不同列之积”的定义，枚举能凑出该次幂的项并按逆序数定符号。坑：$a_{14}=2x,a_{41}=2$ 等系数别漏乘；$a_{11}$ 若取会强制出 $x^4$。

本题考查行列式的完全展开定义。 元素只含常数或 $x$ 的倍数，要得 $x^3$ 需从不同行不同列取 $3$ 个含 $x$ 元素相乘（余下一个取常数）。

若取 $a_{11}=x$，则第一行的 $x,2x$ 不能再取，剩下含 $x$ 的必在主对角线，最终得 $x^4$，不合。故 $a_{11}$ 不取，$x$ 来自后三列；第三列仅 $a_{33}=x$，必取。

第二列取 $a_{12}=x$：对应 $a_{12}{a}_{21}{a}_{33}{a}_{44}$，排列 $2,1,3,4$ 逆序数 $1$，得 $(-1{)}^1{x}^3=-x^3$；第二列取 $a_{22}=x$：对应 $a_{14}{a}_{22}{a}_{33}{a}_{41}$，排列 $4,2,3,1$ 逆序数 $5$，得 $(-1{)}^5\cdot 2\cdot 2x^3=-4x^3$。

合计 $-x^3-4x^3=-5x^3$，系数为 $-5$。