2021 年考研数学（三） 第 14 题

一阶常系数差分方程 $y_{t+1}-y_t=$ 多项式 → 齐次常数解 + 待定系数特解；$a=1$ 时特解要额外乘 $t$。坑：自由项 $t$ 与齐次解“共振”，特解须设 $t(B_0+B_{1}t)$。

本题考查一阶常系数线性差分方程。 $\Delta y_t=y_{t+1}-y_t=t$，即 $y_{t+1}-y_t=t$；齐次 $y_{t+1}-y_t=0$ 的通解为常数 $C$。

自由项为一次多项式且特征 $a=1$（共振），设特解 $y_t^{\ast }=t(B_0+B_{1}t)$。代入得 $2B_{1}t+(B_0+B_1)=t$，故 $B_1=\frac{1}{2},B_0=-\frac{1}{2}$，$y_t^{\ast }=\frac{1}{2}{t}^2-\frac{1}{2}t$。

通解 $y_t=\frac{1}{2}{t}^2-\frac{1}{2}t+C$。（也可由 $y_t={\sum }_{k=1}^{t-1}k+y_1=\frac{t(t-1)}{2}+C$ 得到。）