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2021 年考研数学（三）第 13 题

填空题 · 5 分

设平面区域

D

由曲线

y = x sin π x (0 \leq x \leq 1)

与

x

轴围成，则

D

绕

x

轴旋转所围成的旋转体的体积为 ______。

提示 1

绕

x

轴：

V = π \int_{0}^{1} y^{2} d x = π \int_{0}^{1} x sin^{2} π x d x

。

提示 2

降幂

sin^{2} π x = \frac{1 - c o s 2 π x}{2}

，拆成两个积分。

提示 3

\int_{0}^{1} x cos 2 π x d x

分部积分为

0

。

答案与详解

答案 $\frac{π}{4}$

思路（为什么这么做）

曲线绕

x

轴旋转求体积 →

π \int y^{2} d x

，

sin^{2}

先降幂。坑：

\int_{0}^{1} x cos 2 π x d x = 0

，别漏乘最外层

π

。

解答

本题考查旋转体体积 $V = π \int y^{2} d x$ 。

V = π \int_{0}^{1} (x sin π x)^{2} d x = π \int_{0}^{1} x sin^{2} π x d x

。

用

sin^{2} π x = \frac{1 - cos 2 π x}{2}

：

V = \frac{π}{2} \int_{0}^{1} x d x - \frac{π}{2} \int_{0}^{1} x cos 2 π x d x

。

\int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2}

；

\int_{0}^{1} x cos 2 π x d x = 0

（分部积分，边界项与积分项均为

0

）。

故

V = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{π}{4}

。

考点：定积分几何应用（面积、旋转体体积、平均值）、定积分的计算

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