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2021 年考研数学（三）第 12 题

填空题 · 5 分

\int_{5}^{5} \frac{x}{∣ x ^{2} - 9∣} d x =

______。

提示 1

∣ x^{2} - 9∣

在

x = 3

变号，把

[5, 5]

拆成

[5, 3] \cup [3, 5]

。

提示 2

每段都是

\frac{x}{\pm ( x ^{2} - 9 )}

，凑微分

d (x^{2})

积成

\mp \dots

。

提示 3

注意端点

5

（

9 - 5 = 4

）与

3

（根号为

0

）。

答案与详解

答案 $6$

思路（为什么这么做）

被积含绝对值 → 找零点分段去绝对值再分别积分。坑：

\int \frac{x}{9 - x ^{2}} = - 9 - x^{2}

（带负号），

\int \frac{x}{x ^{2} - 9} = x^{2} - 9

，两段符号别搞反。

解答

本题考查含绝对值的定积分，按符号分段。

5 < x < 3

时

x^{2} - 9 < 0

；

3 < x < 5

时

x^{2} - 9 > 0

，在

x = 3

处拆开。

\int_{5}^{3} \frac{x}{9 - x ^{2}} d x = [- 9 - x^{2}]_{5}^{3} = 0 - (- 2) = 2

。

\int_{3}^{5} \frac{x}{x ^{2} - 9} d x = [x^{2} - 9]_{3}^{5} = 4 - 0 = 4

。

合计

2 + 4 = 6

。

考点：定积分的计算、换元积分法与分部积分法

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