2021 年考研数学（三） 第 11 题

多层复合求导 → 链式法则逐层“剥洋葱”。坑：两个负号（$-\sin$ 与 $(-\sqrt{x}{)}^{\prime }$）相乘得正，结果为正。

本题考查复合函数求导（链式法则）。 由外到内：$\cos u$、$u=e^v$、$v=-\sqrt{x}$。

$\frac{dy}{dx}=-\sin \left(e^{-\sqrt{x}}\right)\cdot e^{-\sqrt{x}}\cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)=\frac{e^{-\sqrt{x}}\sin \left(e^{-\sqrt{x}}\right)}{2\sqrt{x}}$。

代入 $x=1$：$\frac{e^{-1}\sin e^{-1}}{2}=\frac{\sin e^{-1}}{2e}$。