2021 年考研数学（三） 第 10 题

离散总体求 MLE → 频次作指数写似然、取对数、求导令零。坑：$P\{X=2\}=P\{X=3\}$ 要把它们的次数合并为 $(1+\theta )/4$ 的 $3+2=5$ 次方。

本题考查离散型总体的最大似然估计。 样本中 $1$ 出现 $3$ 次、$2$ 出现 $3$ 次、$3$ 出现 $2$ 次。

似然函数 $L(\theta )={\left(\frac{1-\theta }{2}\right)}^3{\left(\frac{1+\theta }{4}\right)}^5$，$\ln L=-13\ln 2+3\ln (1-\theta )+5\ln (1+\theta )$。

令 $\frac{d\ln L}{d\theta }=\frac{-3}{1-\theta }+\frac{5}{1+\theta }=0$，即 $5(1-\theta )=3(1+\theta )$，解得 $\theta =\frac{1}{4}$。选 A。