2021 年考研数学（三） 第 9 题

求 $\bar{X}-\bar{Y}$ 的方差 → 用 $D(X-Y)=DX+DY-2\mathrm{Cov}$，样本均值协方差按下标同异拆。坑：$X_i,Y_i$ 同一对相关（$\mathrm{Cov}=\rho {\sigma }_1{\sigma }_2$），别当成独立漏掉 $-2\rho {\sigma }_1{\sigma }_2/n$。

本题考查样本均值的期望、方差与协方差。 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，$\mathrm{Cov}(X,Y)=\rho {\sigma }_1{\sigma }_2$。

期望：$E(\hat{\theta })=E(\bar{X})-E(\bar{Y})={\mu }_1-{\mu }_2=\theta$，无偏，排除 C、D。

方差：$D(\hat{\theta })=D(\bar{X})+D(\bar{Y})-2\mathrm{Cov}(\bar{X},\bar{Y})$。因样本间独立，$\mathrm{Cov}(\bar{X},\bar{Y})=\frac{1}{n^2}{\sum }_{i=1}^n\mathrm{Cov}(X_i,Y_i)=\frac{\rho {\sigma }_1{\sigma }_2}{n}$。

故 $D(\hat{\theta })=\frac{{\sigma }_1^2}{n}+\frac{{\sigma }_2^2}{n}-\frac{2\rho {\sigma }_1{\sigma }_2}{n}=\frac{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2-2\rho {\sigma }_1{\sigma }_2}{n}$。选 B。