2021 年考研数学（三）第 8 题

选择题 · 5 分

设

A, B

为随机事件，且

0 < P (B) < 1

，下列命题中为假命题的是（　　）。

A若 $P (A ∣ B) = P (A)$ ，则 $P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) = P (A)$ 。
B若 $P (A ∣ B) > P (A)$ ，则 $P (\overset{ˉ}{A} ∣ \overset{ˉ}{B}) > P (\overset{ˉ}{A})$ 。
C若 $P (A ∣ B) > P (A ∣ \overset{ˉ}{B})$ ，则 $P (A ∣ B) > P (A)$ 。
D若 $P (A ∣ A \cup B) > P (\overset{ˉ}{A} ∣ A \cup B)$ ，则 $P (A) > P (B)$ 。

提示 1

把条件概率都化成

\frac{P ( \cdot )}{P ( \cdot )}

，尤其

P (\cdot ∣ A \cup B)

的分母是

P (A \cup B)

。

提示 2

D 项化简后只能得到

P (A) > P (B) - P (A B)

，找反例（如

A = B

）。

提示 3

A 项本质是独立性传递：

A, B

独立

\Rightarrow A, \overset{ˉ}{B}

独立。

答案与详解

答案 D

思路（为什么这么做）

判断条件概率命题真假 → 用定义写成概率比、或转化为

P (A B)

与

P (A) P (B)

比较；假命题找反例（

A = B

等极端情形）。坑：

P (A) > P (B) - P (A B)

推不出

P (A) > P (B)

。

解答

本题考查条件概率与事件独立的推理。 逐项分析，D 为假。

D：

P (A ∣ A \cup B) = \frac{P ( A )}{P ( A ) + P ( B ) - P ( A B )}

，

P (\overset{ˉ}{A} ∣ A \cup B) = \frac{P ( B ) - P ( A B )}{P ( A ) + P ( B ) - P ( A B )}

。前者

>

后者只得

P (A) > P (B) - P (A B)

，推不出

P (A) > P (B)

。反例

A = B

：左边

= 1 > 0 =

右边，但

P (A) = P (B)

。故 D 假。

A、B、C 均真：A 由

P (A ∣ B) = P (A)

知

A, B

独立，故

A, \overset{ˉ}{B}

独立；B、C 由

P (A ∣ B) > P (A) ⟺ P (A B) > P (A) P (B)

出发即可推得。选 D。

2021 年考研数学（三） 第 8 题