2021 年考研数学（三） 第 7 题

“找 $P,Q$ 使 $PAQ$ 对角” → 行变换记进 $P$、列变换记进 $Q$（初等矩阵思想）。坑：只有一侧变换（另一侧为 $I$）一般无法对角化，含单位阵的选项多半错。

本题考查矩阵的初等变换与“左乘=行变换、右乘=列变换”。 左乘可逆下三角 $P$ 记录一系列行变换，右乘可逆上三角 $Q$ 记录一系列列变换。

对 $A$ 作行变换（$r_2-2r_1,r_3+r_1$，再 $r_2\times (-1)$，$r_3-2r_2$）化为上三角 $U=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& -3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，对应 $P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ -3& 2& 1\end{array}\right)$。

再对 $U$ 作列变换 $c_3+c_1+3c_2$ 消去第三列，对应 $Q=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$。

验证 $PAQ=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ 为对角矩阵。选 C。（A、B 各有一侧为单位阵，单乘一侧不能对角化。）