2021 年考研数学（三） 第 6 题

行由正交单位向量组成的方程组 → 用 ${\alpha }_i^T{\alpha }_j={\delta }_{ij}$ 直接凑特解与齐次解。坑：齐次解是“缺席”的 ${\alpha }_4$，特解是“在场”的 ${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3$。

本题考查正交矩阵性质与非齐次线性方程组通解。 $A$ 正交 $\Rightarrow {\alpha }_i^T{\alpha }_i=1,{\alpha }_i^T{\alpha }_j=0(i\ne j)$。

齐次 $Bx=0$：即 ${\alpha }_1^{T}x={\alpha }_2^{T}x={\alpha }_3^{T}x=0$。$B$ 为 $3\times 4$、$r(B)=3$，基础解系 $1$ 个；因 ${\alpha }_4$ 与 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 正交，${\alpha }_4$ 即为解，通解 $k{\alpha }_4$。

特解：取 $x={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3$，则 ${\alpha }_i^{T}x=1(i=1,2,3)$，恰有 $Bx=\beta$。

故通解 $x={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+k{\alpha }_4$。选 D。