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2021 年考研数学（三）第 5 题

选择题 · 5 分

二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} + x_{2})^{2} + (x_{2} + x_{3})^{2} - (x_{3} - x_{1})^{2}

的正惯性指数与负惯性指数依次为（　　）。

A $2, 0$ 。
B $1, 1$ 。
C $2, 1$ 。
D $1, 2$ 。

提示 1

先把三个完全平方展开合并，注意

x_{1}^{2}, x_{3}^{2}

相消。

提示 2

用配方法（先集中含

x_{2}

的项）化成平方和，数正、负平方项个数。

提示 3

也可求

A

的特征值符号：

{3, - 1, 0}

，正、负各

1

。

答案与详解

答案 B

思路（为什么这么做）

求正负惯性指数 → 配方成标准形数正负项，或算实对称矩阵特征值符号。坑：正负指数之和

=

秩，本题秩为

2

（有一个零特征值），排除和为

3

的 C、D。

解答

本题考查二次型的正、负惯性指数（可逆线性变换下不变）。先展开：

f = 2 x_{2}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{2} x_{3} + 2 x_{1} x_{3}

，对应矩阵

A = 011121110

。

配方（含

x_{2}^{2}

）：

f = 2 (x_{2} + \frac{x _{1} + x _{3}}{2})^{2} - \frac{1}{2} (x_{1} - x_{3})^{2}

。

标准形为一正一负两个平方项（秩

2

），故正惯性指数

= 1

，负惯性指数

= 1

。选 B。

考点：二次型及其标准形、规范形、化二次型为标准形（配方法、正交变换）

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