2021 年考研数学（三） 第 4 题

给“复合后表达式”求某点偏导 → 对恒等式整体求导 + 代特殊点，得偏导的线性方程组。坑：$f(x+1,e^x)$ 求导第二分量要乘链式因子 $e^x$；代入点须使自变量落在 $(1,1)$。

本题考查全微分与抽象复合函数偏导的计算。 $df(1,1)=f_x^{\prime }(1,1)dx+f_y^{\prime }(1,1)dy$，需求两个偏导在 $(1,1)$ 的值。

对 $f(x+1,e^x)=x(x+1{)}^2$ 两边关于 $x$ 求导：$f_x^{\prime }(x+1,e^x)+f_y^{\prime }(x+1,e^x)e^x=(x+1)(3x+1)$，令 $x=0$（点为 $(1,1)$）得 $f_x^{\prime }(1,1)+f_y^{\prime }(1,1)=1$。

对 $f(x,x^2)=2x^2\ln x$ 两边求导：$f_x^{\prime }(x,x^2)+2x{f}_y^{\prime }(x,x^2)=2x(2\ln x+1)$，令 $x=1$ 得 $f_x^{\prime }(1,1)+2f_y^{\prime }(1,1)=2$。

联立解得 $f_x^{\prime }(1,1)=0,f_y^{\prime }(1,1)=1$，故 $df(1,1)=dy$。选 C。