2021 年考研数学（三） 第 3 题

“含参函数恰 2 个零点” → 求极值点、看两端趋势，转化为“极小值 $<0$”。坑：先排除 $b\le 0$，再由 $b>0$ 把不等号方向定对。

本题考查用单调性与最小值符号判断零点个数。 定义域 $x>0$，$f^{\prime }(x)=a-\frac{b}{x}=\frac{ax-b}{x}$。

若 $b\le 0$，则 $f^{\prime }>0$，$f$ 单调，至多 $1$ 个零点，故必有 $b>0$。此时 $f$ 在 $x=\frac{b}{a}$ 取最小值 $f\left(\frac{b}{a}\right)=b-b\ln \frac{b}{a}=b\left(1-\ln \frac{b}{a}\right)$。

两端 $x\to 0^{+}$ 与 $x\to +\infty$ 均 $\to +\infty$，故有 $2$ 个零点 $⟺$ 最小值 $<0$。由 $b>0$ 得 $1-\ln \frac{b}{a}<0$，即 $\ln \frac{b}{a}>1$，$\frac{b}{a}>e$。选 A。