2021 年考研数学（三） 第 2 题

分段函数在分界点问连续/可导/极值 → 一律回到定义算左右极限、算 $f^{\prime }(0)$。坑：$f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}\ne 0$，既非极值点也排除 C。

本题考查分段函数在分界点的连续性与可导性。 只需在 $x=0$ 处用定义讨论。

连续性：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1=f(0)$（因 $e^x-1\sim x$），故 $f$ 在 $0$ 连续。

可导性：由定义 $f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{e^x-1}{x}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-x}{x^2}$。用 $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ 得 $f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}\ne 0$。

因 $f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}\ne 0$，可导且导数不为 $0$；导数非零，$x=0$ 不满足极值必要条件，A、B 均错。选 D。