2021 年考研数学（三） 第 1 题

看到“变上限积分与幂函数比阶”→ 对积分用洛必达（上限求导别忘乘上限的导数）+ 等价无穷小化简，看极限值判阶。坑：${\int }_0^{x^2}$ 实际 $\sim x^8/4$，比 $x^7$ 高阶。

本题考查无穷小量阶的比较（配合变上限积分求导与等价无穷小）。记 $F(x)={\int }_0^{x^2}\left(e^{t^3}-1\right)dt$，只需求 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x^7}$。

用洛必达（变上限积分求导，上限 $x^2$ 需乘其导数 $2x$）：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x^7}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(e^{x^6}-1\right)\cdot 2x}{7x^6}$。再由 $e^{x^6}-1\sim x^6$，得 $=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^6\cdot 2x}{7x^6}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x}{7}=0$。

极限为 $0$，故 $F(x)$ 是比 $x^7$ 高阶的无穷小。选 C。