乐思数学通 › 考研数学（三） › 真题检索 › 2021 年

2021 年考研数学（三）第 22 题

解答题 · 12 分

在区间

(0, 2)

上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为

X

，较长一段的长度记为

Y

，令

Z = \frac{Y}{X}

。

（Ⅰ）求

X

的概率密度；（Ⅱ）求

Z

的概率密度；（Ⅲ）求

E (\frac{X}{Y})

。

提示 1

取点

W \sim U (0, 2)

，

X = min {W, 2 - W}

取值于

(0, 1)

；用分布函数法求

F_{X}

。

提示 2

Z = \frac{2 - X}{X} = \frac{2}{X} - 1

单调，由

F_{Z} (z) = P {X \geq \frac{2}{z + 1}}

求导得密度。

提示 3

（Ⅲ）

\frac{X}{Y} = \frac{X}{2 - X}

，直接对

X \sim U (0, 1)

求期望积分。

答案与详解

答案（Ⅰ） $f_{X} (x) = {1, 0, 0 < x < 1, 其他;$ （Ⅱ） $f_{Z} (z) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2}{( z + 1 ) ^{2}}, 0, z \geq 1, z < 1;$ （Ⅲ） $E (\frac{X}{Y}) = 2 ln 2 - 1$ 。

思路（为什么这么做）

折断区间的长短段 →

X = min {W, 2 - W} \sim U (0, 1)

；比值

Z = Y / X

用分布函数法。坑：

X

只在

(0, 1)

，

Z \geq 1

；求

E (X / Y)

用

X / (2 - X)

直接积分比先求

Z

密度更快。

解答

本题考查均匀分布、随机变量函数的分布与期望。 设取点位置

W \sim U (0, 2)

，则较短段

X = min {W, 2 - W} \in (0, 1)

。

（Ⅰ）当

0 \leq x < 1

，

F_{X} (x) = P {X \leq x} = 1 - P {x < W < 2 - x} = 1 - \frac{( 2 - x ) - x}{2} = x

，故

X \sim U (0, 1)

，

f_{X} (x) = 1 (0 < x < 1)

，其余为

0

。

（Ⅱ）

Z = \frac{Y}{X} = \frac{2 - X}{X} = \frac{2}{X} - 1 \in [1, + \infty)

。当

z \geq 1

，

F_{Z} (z) = P {X \geq \frac{2}{z + 1}} = 1 - \frac{2}{z + 1}

，故

f_{Z} (z) = \frac{2}{( z + 1 ) ^{2}} (z \geq 1)

，其余为

0

。

（Ⅲ）

\frac{X}{Y} = \frac{X}{2 - X}

，

E (\frac{X}{Y}) = \int_{0}^{1} \frac{x}{2 - x} d x = \int_{0}^{1} (- 1 + \frac{2}{2 - x}) d x = [- x - 2 ln (2 - x)]_{0}^{1} = 2 ln 2 - 1

。

考点：随机变量函数的分布、常见连续分布（均匀、指数、正态）、数学期望

← 2021 年全部题目

2021 年考研数学（三） 第 22 题

2021 年考研数学（三）第 22 题