2020 年考研数学（三） 第 6 题

给定 $P^{-1}AP=\Lambda$ 找 $P$ → $P$ 的第 $j$ 列须是 ${\lambda }_j$ 的特征向量，逐列对号。坑：同特征值向量之和仍是该特征向量，但不同特征值向量之和不再是特征向量。

本题考查特征向量的概念与相似对角化的列对应。 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,-1,1)$ 要求 $P$ 的第 $1,2,3$ 列依次是属于特征值 $1,-1,1$ 的特征向量，且三列线性无关。

属于特征值 $1$ 的特征向量＝${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 的非零线性组合（如 ${\alpha }_1+{\alpha }_2$）；属于 $-1$ 的＝${\alpha }_3$ 的非零倍（如 $-{\alpha }_3$）。${\alpha }_1+{\alpha }_3$ 是不同特征值向量之和，不是特征向量，排除 A、C。

B 的第 2 列取 ${\alpha }_2$（特征值 $1$），与所需的 $-1$ 不符，排除。D $=({\alpha }_1+{\alpha }_2,-{\alpha }_3,{\alpha }_2)$：三列依次属于特征值 $1,-1,1$ 且线性无关，符合。故选 D。